Torre de Hanói: como resolver, quantos movimentos e a história do jogo

A Torre de Hanói parece fácil na primeira olhada: uma base com três pinos, alguns discos empilhados do maior para o menor e a tarefa de levar a pilha inteira para outro pino. Dez minutos depois, a criança (e muito adulto) está com um disco na mão, olhando para a mesa, sem saber para onde ele vai. Isso é normal. O jogo obriga a pensar alguns passos à frente.

Existe um jeito de resolver que cabe em duas frases. Ele vem logo depois das regras, junto com a conta do número mínimo de movimentos, a história real por trás da lenda do templo e ideias para adaptar o jogo a cada idade.

As regras da Torre de Hanói

O jogo tem uma base com três pinos e discos de tamanhos diferentes, todos furados no meio. Os discos começam empilhados em um pino, o maior embaixo e o menor em cima, como uma torre. O objetivo é refazer a torre inteira em outro pino. Há duas regras:

1. Só se move um disco por vez, sempre o que está no topo de algum pino.
2. Nunca se coloca um disco maior sobre um menor.

Só isso. Qualquer pino pode servir de apoio no meio do caminho. É essa liberdade que torna o começo difícil: muitas jogadas são permitidas, mas poucas ajudam.

Quantos movimentos são necessários

Para cada quantidade de discos existe um número mínimo de movimentos, dado por uma fórmula: 2 elevado a n, menos 1, em que n é o número de discos. Na prática:

• 3 discos: 7 movimentos
• 4 discos: 15 movimentos
• 5 discos: 31 movimentos
• 6 discos: 63 movimentos

Cada disco a mais dobra o trabalho e ainda soma uma jogada. O motivo é simples: para mover n discos, é preciso mover n menos 1 para o pino de apoio, mover o maior e mover de novo os n menos 1. O dobro da torre menor, mais uma jogada. A fórmula do mínimo está na Wikipédia (em inglês).

Como resolver: o jeito que a criança aprende

O padrão do menor disco

O método mais fácil de ensinar alterna dois tipos de jogada:

1. Mova o menor disco para o pino seguinte, sempre girando no mesmo sentido pelos três pinos.
2. Faça então a única jogada possível com os outros discos. Como nenhum disco pode ficar sobre o menor, sobra só um movimento permitido.
3. Repita: menor disco, jogada única, menor disco, jogada única, até a torre aparecer pronta no outro pino.

Falta saber para qual lado girar. Chame de A o pino onde a torre começa, de B o do meio e de C o destino. Com um número ímpar de discos (3 ou 5), o menor disco vai de A para C, depois para B, depois para A, e assim por diante. Com um número par (4 ou 6), a ordem é A, B, C, A. A regra está descrita na Wikipédia: seguida assim, a torre fica pronta no número mínimo de movimentos.

A ideia recursiva, em português simples

Quem prefere entender a lógica em vez de seguir um ritmo pode pensar assim: para levar a torre de A para C, primeiro leve todos os discos menos o maior para B. O maior fica livre e vai direto para C. Por fim, leve a torre menor de B para C, por cima dele. O truque é que levar “a torre menor” é o mesmo problema com um disco a menos. Com um disco, é uma jogada só. Quem enxerga isso resolve torre de qualquer tamanho.

Com que idade começar e como adaptar

Não há uma idade oficial para o jogo. Um estudo de 2016 na revista Frontiers in Psychology (Wunsch e colegas) usou a torre com até cinco discos em participantes de 3 a 10 anos e adultos, com uma versão para 3 e 4 anos, outra para 5 e 6 e outra para 7 anos em diante. A rodada de treino tinha três discos e explicava as regras. A porcentagem de problemas resolvidos tendeu a subir com a idade: cerca de 13% aos 3 anos e 57% aos 10. Ou seja, criança pequena consegue jogar, mas resolve menos problemas.

Uma sugestão prática, que é opinião nossa e não resultado de estudo: comece com 3 discos, que pedem 7 jogadas, até a criança chegar lá sem erro. Só então acrescente o quarto. Crianças maiores podem tentar descobrir sozinhas a regra do menor disco, o que costuma ser mais gostoso do que receber a resposta pronta.

A história: um jogo de 1883 e a lenda que vinha na caixa

O jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas e apresentado em 1883, mas sem o nome dele. A folha de instruções original, publicada em inglês numa página mantida por Paul Stockmeyer no site da Universidade William & Mary, atribui o jogo ao “Professor N. Claus (de Siam)”, mandarim de um “Colégio de Li-Sou-Stian”, que o teria trazido de Tonkin (o norte do atual Vietnã). O nome era uma brincadeira: “N. Claus de Siam” é um anagrama de “Lucas d’Amiens”, e Lucas lecionava no Lycée Saint-Louis (MacTutor, Universidade de St Andrews).

A mesma folha conta a lenda que todo mundo repete, apresentada como “uma velha lenda indiana”: brâmanes em um templo de Benares movendo uma torre de 64 discos de ouro, e, quando terminassem, a torre e os brâmanes desabariam e o mundo acabaria. Não se conhece registro dessa lenda antes de 1883. Ela aparece pela primeira vez na própria folha que apresentava o jogo ao público, que segundo o texto era vendido em livrarias e lojas de novidades de Paris, Pequim, Tóquio e Saigon (tradução publicada por Stockmeyer). A folha ainda oferecia prêmios a quem movesse à mão a torre de 64 andares. A página da Wikipédia sobre o livro The Tower of Hanoi: Myths and Maths (em inglês) descreve a história do templo como um enredo mítico que o próprio Lucas inventou para o jogo.

E se alguém tentasse? A conta é 2 elevado a 64, menos 1, ou 18.446.744.073.709.551.615 movimentos. Com uma jogada por segundo, sem descanso e sem erro, dá cerca de 585 bilhões de anos, mais de 40 vezes a idade estimada do universo, segundo a Wikipédia. A própria folha de 1883 falava em “mais de cinco bilhões de séculos”.

Uso na psicologia e na escola

A Torre de Hanói é usada em pesquisas sobre resolução de problemas, e uma variante, a Torre de Londres, é empregada na avaliação neuropsicológica de funções executivas (Wikipédia). No Brasil, um estudo publicado na revista Paidéia em 2015 (Ferreira, Zanini e Seabra) aplicou o jogo com 3 e 4 discos a 55 crianças e adolescentes de 10 a 16 anos. O resultado pede cautela: nesse grupo, o número de movimentos e o tempo não diferenciaram as faixas de idade, e os autores lembram que os estudos divergem sobre o que o teste mede, entre planejamento, memória de trabalho e controle inibitório (a capacidade de segurar o impulso).

Ou seja, a torre não é prova de inteligência nem garantia de bom desempenho na escola. Em casa ou em sala de aula, vale como um jogo que pede planejar antes de agir e continuar depois de errar.

Onde encontrar

A Torre de Hanoi em Madeira Educativo Pedagógico, da Fábrika dos Sonhos, é de madeira e vem com uma base com 3 pinos e 6 discos (pela fórmula acima, a torre completa pede no mínimo 63 movimentos). A página da loja não informa idade indicada. Está à venda na Casa do Brinquedo. A loja é da mesma empresa que mantém o Amo Brinquedos, e os critérios de indicação estão em Como Avaliamos.

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